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如果一棵二叉树只有根节点，那么这棵二叉树的高度为 $1$。则一棵高度为 $3$ 的二叉树有（ ）种不同的形态。
不妨设状态 $f_i$ 表示所有高度 $\leq i$ 的二叉树的不同形态树
可得推导公式为 $f_i=(f_{i-1}+1)^2$，所以可得 $f_1=1，f_2=4，f_3=25$
所以高度为 $3$ 的二叉树的不同形态数为 $f_3-f_2=25-4=21$。